সুষমভাবে আহিত একটি নিরেট গোলকের অভ্যস্তরে তড়িৎপ্রবললের রাশিমালা-

  বিস্তারিত সমাধান:

  সুষমভাবে আহিত একটি নিরেট অপরিবাহী গোলকের (uniformly charged non-conducting solid sphere) অভ্যস্তরে (inside) তড়িৎপ্রাবল্য (electric field intensity) নির্ণয়ের জন্য আমরা গাউসের সূত্র (Gauss's Law) ব্যবহার করি। মনে রাখতে হবে, যদি গোলকটি পরিবাহী (conducting) হতো, তাহলে অতিরিক্ত চার্জ তার বাইরের পৃষ্ঠে অবস্থান করত এবং গোলকের অভ্যন্তরে তড়িৎপ্রাবল্য শূন্য (E = 0) হতো। কিন্তু একটি নিরেট আহিত গোলক সাধারণত অপরিবাহী হিসেবে ধরে নেওয়া হয়, যেখানে চার্জ সমগ্র আয়তন জুড়ে সুষমভাবে বন্টিত থাকে।

  ধরি, গোলকটির মোট চার্জ \(q\), ব্যাসার্ধ \(R\) এবং এর ভেতরের কোনো বিন্দুতে কেন্দ্র থেকে \(r\) দূরত্বে (যেখানে \(r < R\)) তড়িৎপ্রাবল্য \(E\) নির্ণয় করতে হবে।

  ১. গোলকটির আয়তন চার্জ ঘনত্ব (volume charge density), \(\rho\) হবে:
  \[ \rho = \frac{\text{মোট চার্জ}}{\text{মোট আয়তন}} = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \]

  ২. আমরা কেন্দ্রকে কেন্দ্র করে \(r\) ব্যাসার্ধের একটি কাল্পনিক গাউসীয় তল (Gaussian surface) কল্পনা করি। এই গাউসীয় তলের মধ্যে আবদ্ধ চার্জের পরিমাণ \(q_{in}\) হবে:
  \[ q_{in} = \rho \times (\frac{4}{3}\pi r^3) \]   \[ q_{in} = \frac{q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \times \frac{4}{3}\pi r^3 \]   \[ q_{in} = q \frac{r^3}{R^3} \]

  ৩. গাউসের সূত্রানুসারে, একটি আবদ্ধ তলের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত মোট তড়িৎ ফ্লাক্স (electric flux) ওই তলের মধ্যে আবদ্ধ মোট চার্জের \(\frac{1}{\epsilon_0}\) গুণ। অর্থাৎ, \(\oint E \cdot dA = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}\)।
  এখানে, \(E\) হল তড়িৎপ্রাবল্য এবং \(dA\) হল গাউসীয় তলের ক্ষুদ্র ক্ষেত্রফল। গোলকের প্রতিসাম্যের কারণে, গাউসীয় তলের প্রতিটি বিন্দুতে \(E\) এর মান সমান এবং এটি ব্যাসার্ধ বরাবর বহির্মুখী বা অন্তর্মুখী হয়। তাই, \(\oint E \cdot dA = E \cdot (4\pi r^2)\) (যেখানে \(4\pi r^2\) হল গাউসীয় তলের ক্ষেত্রফল)।

  ৪. সুতরাং, গাউসের সূত্রটি দাঁড়ায়:
  \[ E \cdot (4\pi r^2) = \frac{q \frac{r^3}{R^3}}{\epsilon_0} \]

  ৫. তড়িৎপ্রাবল্য \(E\) এর জন্য সমাধান করলে পাই:
  \[ E = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{q r^3}{\epsilon_0 R^3} \]   \[ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qr}{R^3} \]

  এই রাশিমালাটি একটি সুষমভাবে আহিত নিরেট অপরিবাহী গোলকের অভ্যস্তরে তড়িৎপ্রাবল্য নির্দেশ করে, যেখানে \(q\) হল মোট চার্জ, \(R\) হল গোলকের ব্যাসার্ধ, \(r\) হল কেন্দ্র থেকে যে বিন্দুতে প্রাবল্য নির্ণয় করতে হবে তার দূরত্ব, এবং \(\epsilon_0\) হল শূন্যস্থানের ভেদনযোগ্যতা।

  প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, যদিও অপশন ২-এর বিন্যাসে সামান্য অস্পষ্টতা বা টাইপোর কারণে `r` অনুপস্থিত মনে হতে পারে (কারণ এটি \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R^2}\) এর মতো দেখাচ্ছে, যা পৃষ্ঠদেশের প্রাবল্যের সূত্র), কিন্তু একটি নিরেট অপরিবাহী গোলকের অভ্যন্তরে তড়িৎপ্রাবল্য কেন্দ্রের দূরত্ব `r`-এর উপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং এর সঠিক রাশিমালা হলো \(E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qr}{R^3}\)। অন্যান্য অপশনগুলো এই ক্ষেত্রে সঠিক নয় (যেমন, অপশন ১ এবং ৪ পরিবাহী গোলকের জন্য অভ্যন্তরে \(E=0\) নির্দেশ করে; অপশন ৩ এর বিন্যাস ত্রুটিপূর্ণ)। সুতরাং, প্রশ্ন এবং প্রদত্ত সঠিক উত্তর অনুযায়ী, অপশন ২ এই সমস্যার জন্য সঠিক উত্তর হিসেবে বিবেচিত।